W module poświęconym klasyfikacji punktów stacjonarnych nie wchodząc w szczegóły wspominaliśmy o tym, że wszystkie omawiane punkty stacjonarne, poza środkiem, są odporne na małe zaburzenia. Zaburzenia takie mają rozmaity charakter. Zauważmy przede wszystkim, że układy dynamiczne służące do modelowania procesów naturalnych, uwzględniają zależności od rozmaitych parametrów, jak na przykład masy, przyspieszenia siły grawitacyjnej, współczynnika tarcia i wielu innych, dlatego typowy układ dynamiczny należałoby zapisać w postaci

gdzie \( \mu=(\mu_1,\,...\mu_m)\,\in\,R^m \) - zbiór parametrów. Charakter punktu stacjonarnego w ogólnym przypadku zależy od tego, jakie konkretne wartości przybierają parametry.
Innym źródłem zaburzeń jest dodanie do układu zlinearyzowanego w małym otoczeniu punktu stacjonarnego odrzuconych członów szeregu Taylora:

gdzie \( \xi^i=x^i-x_0^i \), \( DF[x_0]_j^i,\,\,D^2F[x_0]_{jk}^i,,... \)- są to odpowiednio pierwsza, druga oraz wyższe pochodne cząstkowe \( i \)-tej skladowej wektor funkcji \( F \) obliczone w punkcie \( x_0 \).
Otóż środek zmienia swój charakter pod wpływem zaburzeń zarówno pierwszego jak i drugiego rozaju.
Rzeczywiście, przejście od macierzy niezaburzonej

do macierzy zaburzonej

czyni ze środka ognisko niestabilne przy dowolnie małym \( \mu>0 \).
Dodanie do układu zlinearyzowanego, opisujacego środek części nieliniowej, może mieć podobny efekt, jak w przypadku układu

który opisuje ognisko stabilne. Można się o tym przekonać przechodząc do zmiennych biegunowych \( \rho=\sqrt{x^2+y^2}, \quad \phi= \arctan(y/x) \). W zmiennych tych układ przekształca się w parę równań od siebie niezależnych

Rozwiązania tych równań, jak łatwo się można przekonać, mają postać

Widać, ze zmienna \( \rho(t) \) dąży do zera gdy \( t \) dąży do \( +\infty \), a więc portret fazowy układu w płaszczyźnie zmiennych ( \( x,\,\,y \)) powinien przypominać ognisko stabilne.
Zauważmy też że przy \( \mu>0 \) efekt zaburzenia części liniowej oraz efekt od dodania wyżej opisanej nieliniowości działają niejako w przeciwnych kierunkach. W wyniku takich jednoczesnych zburzeń, pojawia się nieliniowe rozwiązanie okresowe, zwane cyklem granicznym. Przebieg powstania takiego rozwiązania jest opisany niżej.

Sprowadzenie układu do postaci kanonicznej

Rozpatrzmy układ dwuwymiarowy

Zakładamy, że układ ma punkt stacjonarny w zerze oraz, że przy \( \mu=0 \) macierz linearyzacji \( DF_0(0)=\hat A \) ma parę czysto urojonych wartości własnych \( \lambda_{1,\,2}=\pm\,i\,\omega \), natomiast przy \( |\mu|<<1 \) — parę zespolonych wartości własnych \( \lambda_{1,\,2}=\mu\,\pm\,i\,\omega(\mu) \). Zakładamy ponadto, że \( |\omega|=O(1) \) oraz, że \( \omega(\mu) \) w sposób różniczkowalny zależy od parametra \( \mu \), a zatem \( \omega(\mu)=\omega+O(|\mu|) \).

Opiszemy poniżej procedurę przejścia do współrzędnych kanonicznych, w których macierz linearyzacji ma specyficzną postać. Punktem wyjścia będzie dla nas układ

gdzie \( \hat A=D\,F_\mu[0] \). Zakładamy, jak wyżej, że macierz ma parę zespolonych wartości własnych \( \lambda_{\pm}=\mu\,\pm\,i\,\omega(\mu) \), którym odpowiada para zespolonych wektorów własnych \( V_{\pm}=R\,\pm i\,I \), \( R,\,I\,\in\,R^2 \). Założenie to można przedstawić w postaci wzoru

lub, zapisując osobno część rzeczywistą i urojoną dla tej równości, w wposób następujący:

Określmy macierz \( P=\left(R,\,-I \right) \) oraz macierz \( P^{-1} \) do niej odwrotną

gdzie \( R^{-1}=(a_1,\,a_2), \,\, I^{-1}=(b_1,\,b_2) \) są to wektory spełniające warunki

Wykorzystując powyższe wzory, łatwo możemy wykazać następujący

Dowód Działając na równanie ( 1 ) operatorem \( P^{-1} \) z lewej strony otrzymujemy:

gdzie \( (z_1,\,z_2)^{tr} \) oznacza operację transponowania wiersza. Rozważmy teraz macierz linearyzacji układu. Wykorzystując wzory ( 2 ) oraz relacje ortogonalności ( 3 ) otrzymamy:

Zatem w nowych zmiennych układ przyjmuje postać

gdzie

,

Sprowadzanie układu ( 4 ) do postaci kanonicznej. Kryterium powstania cyklu granicznego

Kolejnym krokiem jest sprowadzenie części nieliniowej układu ( 4 ) do postaci kanonicznej, umożliwiającej analizę powstania cyklu granicznego oraz jego stabilności (zob. też moduł Skalarne równanie quasiliniowe dla funkcji n zmiennych niezależnych ). Najprościej można to zrobić, przechodząc na zmienne zespolone \( z=x+\,i\,y \). Przejście to pozwala przedstawić układ ( 4 ) w postaci

gdzie

Interesować nas będą dwa pierwsze człony rozkładu funkcji \( F[z,\,\bar z] \) w szereg Taylora, dlatego funkcję \( F[z,\,\bar z] \) przedstawimy jako

Dokonamy zamiany zmiennej

gdzie \( \,\,P_2= \sum_{a+b=2}P^2_{a\,b}w^a \bar w^b\,\, \), \( P^2_{a\,b} \) będą na początek oznaczały dowolne współczynniki zespolone. Podstawiając ten wzór do równania ( 5 ), otrzymamy:

gdzie \( I_2 \) jest to dwuwymiarowa macierz jednostkowa,

Odtąd będziemy traktować przekształcenie ( 6 ) jako asymptotyczne, zatem obliczenia będziemy dokonywali z dokładnoscią do \( O(|w|^3) \). Mnożąc równanie ( 7 ) przez operator \( \left[ I_2-D\,P_2\right]+ \) z lewej strony, otrzymujemy z żądaną dokładnością równanie

gdzie

Załóżmy, że \( \lambda = i \omega \). Założenie to nie wpłynie na wynik ostateczny, gdyż parametr \( \mu \) jest niezależny i można go wybrać jako dowolnie mały. W nowych zmiennych współczynnik przy jednomianie \( w^a \bar w^b \) zniknie jeżeli dokonamy następujacego wyboru \( P^2_{a\,b} \):

Wzór ( 10 ) ma sens, jeżeli \( 1 - a + b \neq 0 \).
Jednomiany dla których wzór ( 10 ) nie jest dobrze określony, noszą nazwę jednomianów nieusuwalnych, lub jednomianów rezonansowych. Obecność takich jednomianów drugiego stopnia można przeanalizować, rozwiązując układ równań

Układ powyższy ma jedyne rozwiązanie \( a=3/2,\,\,b=1/2 \), więc nie spełnia go żadna para liczb \( a,\,\,b\,\in \,N \bigcup\,\{0\} \). Wynika stąd, że wszystkie jednomiany stopnia 2 są usuwalne i przy odpowiednim doborze stałych \( P^2_{a\,b}, \) układ ( 8 ) da się sprowadzić do postaci

W celu usunięcia nierezonansowych jednomianów stopnia trzeciego, wykorzystamy zamianę zmiennych

Po podstawieniu tego wyrażenia do ( 11 ) oraz po przemnożeniu uzyskanego wyrażenia przez operator \( I_2 - D P_3 \), otrzymamy układ (zob. też moduł Skalarne równanie quasiliniowe dla funkcji n zmiennych niezależnych )

gdzie

Zatem co najmniej niektóre z jednomianów trzeciego stopnia da się wyeliminować, dobierając \( P^3_{m\,n} \) w postaci

W celu sprawdzenia obecności jednomianów rezonansowych, rozważmy układ równań

Układ ten ma jedyne rozwiązanie \( m=2,\,\,n=1 \), które, tym razem, należy do zbioru \( N \bigcup\,\{0\}. \)
Tak więc, przy odpowiednim doborze współczynników \( P^3_{m\,n}, \) pierwsze równanie układu (z ponownym uwzględnieniem parametru zaburzającego) można przedstawić w postaci

Zmienną \( v \) można zapisać w postaci trygonometrycznej:

Wstawiając to do powyższego wzoru, a następnie zapisując odpowiednie równania dla części rzeczywistej i zespolonej, otrzymamy układ dynamiczny

Parametr \( a \), występujący w dwóch poprzednich wzorach, jest częścią rzeczywistą tzw. pierwszego indeksu Floqueta. Odgrywa on wiodącą rolę w badaniu narodzin cyklu granicznego oraz określeniu jego stabilności.
Rozważamy równanie

Ma ono zawsze punkt stacjonarny \( \rho_0=0 \), a oprócz tego punkt stacjonarny \( \rho_1=\sqrt{-\frac{\mu}{a}}\,\, \) jednakże pod warunkiem, że \( -\frac{\mu}{a}>0 \). Zachodzą tu dwa przypadki:

1. Dla \( a<0, \quad \mu>0 \). W tej sytuacji punkt stacjonarny \( \rho_0 \) jest niestabilny natomiast \( \rho_1 \) jest stabilny. Trywialne rozwiązanie
   (14)

   \( \rho(t)=\rho_1, \)
   wraz z rozwiązaniem przybliżonym

drugiego równania układu reprezentują na płaszczyźnie zmiennych fizycznych \( \left( Re (v),\,\,Im(v) \right) \) stabilne rozwiązanie okresowe.
Ze względu na stabilność punktu stacjonarnego \( \rho_1, \) wszystkie pobliskie trajektorie w trakcie ewolucji są przyciągane do opisanego wyżej rozwiazania okresowego, co właśnie cechuje jego stabilność.

1. Dla \( a>0, \quad \mu<0 \). W tej sytuacji punkt stacjonarny \( \rho_0 \) jest stabilny, natomiast \( \rho_1 \) jest niestabilny. Rozwiązaniu
   \( \rho(t)=\rho_1>0, \qquad \phi=(t-t_0)\,\omega \)
   odpowiada na na płaszczyźnie zmiennych fizycznych \( \left( Re (v),\,\,Im(v) \right) \) niestabilne rozwiązanie okresowe.

Na zakończenie tego punktu, przedstawimy wzór pozwalający określić parametr \( a \). W zmiennych występujących we wzorze ( 4 ), można go policzyć zgodnie z następującym wzorem ¹

gdzie